カラッと快適にすごせる家づくりですが、内装材に無垢材を使用することです。
木は一定の湿度調整をしてくれます。ただ、合板フローリングは表面処理がかなりしてある場合があるので調湿効果は無垢材には負けてしまいます。 無垢材は湿気を吸収する代わりに膨張するので目地の問題が出たりしますが、RC造のマンションのじめじめとは比べものにならない場合があります。
珪藻土や調湿するタイル(エコカラット）などや本畳もいいと思います。

次は洗濯物を部屋干ししても大丈夫な家？ですが、サンルーム等を設置してそこに洗濯物を干す形がいいかと思います。 又は浴室乾燥機を設置して利用する。（さっぱりとは乾かないと思いますが）
もしくは、上記に書いた無垢材の使用、珪藻土や調湿するタイルなどを利用する形になるかと思います。
質問の部屋干ししても大丈夫？な家というの大丈夫とは少し答えが違うかもしれません。 

これから新築をお考えであれば住宅の性能を上げることで梅雨時のじめじめを解消できます。
ただし、住宅の性能といっても構造強度とは別で、省エネ性能の向上です。

具体的に言うと、断熱性と気密性を上げ、計画的な換気を施すということです。
断熱性はＱ値・気密性はＣ値と呼びますが、Ｑ値は断熱材の性能と厚さ、サッシの性能などの計算によります。 Ｃ値は気密測定機で１棟１棟完成後に測定します。このＣ値が重要で施工段階でかなりの手間をかけないと、完成段階で修正が難しくなります （この測定は、高気密住宅には、必須です）。
単純にこの２つの数値が低ければ性能が高いということになります。

以上の３点（断熱・気密・換気）をしっかり施工しエアコンで冷房２７～２８度(除湿）をしてあげれば洗濯物は半日で乾くと思います。 プラス押し入れを開けておけば、布団などもカラッとすると思います。
また、エアコンを使うと電気代がかかると思われますが、性能の良い家は、エアコンの駆動時間は自動で止まっていることが多いです。
これとは別に、自然素材等で調湿効果を期待する方法もありますが、吸った湿度は再び室内に放出されますので、 ないより良い程度にお考え頂いたほうが賢明です。

梅雨時から秋までは特に、湿度が高いので家中結露が発生します、この結露をほっとくとカビ・ダニの原因になり、さらに空気中に飛散して人が口・鼻から吸ってしまう結果となります。
こういう観点からも住宅に結露が出ないようすることは、省エネ住宅と共に、重要なことです。